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综合法证明不等式例题

^将原不等式两边同乘以3,右边2113展开,减去5261重复的项,则原不等式等价于2(a^3+b^41023+c^3)≥1653 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) 下证a^3+b^3≥ab(a+b):两式相减得 a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^专2≥0;同理 b^3+c^3≥bc(b+c);c^3+a^3≥ca(c+a) ∴原不属等式成立

一 No.1 a^2+b^2-2ab-2(a-b)+1=[(a-b)-1]^2≥0,移项整理得所要证明结论.No.2 (a/根号b)-根号b+(b/根号a)-根号a=(1/根号b)*(a-b)-(1/根号a)*(a-b)=[(1/根号b))-(1/根号a)]*(a-b)=(根号a-根号b)^2*(根号a+根号b)/根号a

^证明:c-√(c^2-ab)<a<c+√(c^2-ab) 先证左边: c-√(c^2-ab)<a <=>c-a<√(c^2-ab) <=>c^2-2ac+a^2<c^2-ab <=>a^2-2ac<-ab <=>a+b<2c 上式怛成立 所以c-√(c^2-ab)<a 再证右边: a<c+√(c^2-ab) <=>a-c<√(c^2-ab) 因为2c>a+b,,b>0,所以c>a a-c<0,√(c^2-ab)>0 所以a-c<√(c^2-ab)恒成立 所以c-√(c^2-ab)<a<c+√(c^2-ab)

a>0,b>0(a-b)^2(a+b)≥0a^3+b^3-a^2b-ab^2≥0a^3+b^3≥a^2b+ab^23a^3+3b^3≥3a^2b+3ab^24a^3+4b^3≥a^3+b^3+3a^2b+3ab^24(a^3+b^3)≥(a+b)^3(a^3+b^3)/2≥(a+b)^3/8(a^3+b^3)/2≥[(a+b)/2]^3

数学语言简洁地叙述柯西不等式:a,b,c,d∈R,有:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),等号当且仅当ad=bc时成立;中文语言简洁地叙述柯西不等式:两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方.取等号的条件是两列数对应成比例.二维形式的证明:(a2+b2)(c2+d2)(a,b,c,d∈R)=a2c2+b2d2+a2d2+b2 c2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2 -2abcd+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2 2≥(ac+bd) 2,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立.

【综合法】 方法一:(√6-√5)=(√6-√5)(√6+√5)/(√6+√5)=1/(√6+√5) 同理2√2-√7=√8-√7=1/(√8+√7) √6+√5<√8+√7 所以1/(√6+√5>1/(√8+√7) 所以√6-√5>2√2-√7 方法二:(√6+√7)^2-(2√2+√5)^2=13+2

分析法其实就是倒着推 我觉得分析法挺好用的 但是考试的时候要是步骤写不清楚很容易扣分 综合法就是利用很多的公式 如均值定理什么的

1.比较法 作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小 作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>1 例1 求

证明:1.综合法已知0<a<1,则1-a>0而1/a +4/(1-a) -9=[(1-a)+4a-9a(1-a)]/[a(1-a)]=(1+3a-9a+9a)]/[a(1-a)]=(9a-6a+1)/[a(1-a)]=(3a-1)/[a(1-a)]易知(3a-1)≥0,则(3a-1)/[a(1-a)]≥0所以:1/a +4/(1-a) -9≥0即1/a +4/(1-a) ≥ 9 (当且仅当a=

ab-3=a+b>=2根号ab令T=根号ab,T^2-2T-3>=0T>=3 or T=3,故,ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)

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